Olasilik hesabi kapsamina giren problemlerde ornek uzayin kac elemanli oldugunu bulunmasi onem tasir. Ornek uzayin sayilabilmesi icin izlenebilecek cesitli yontemler var. Devam etmeden once Olasilik basliginda degindigimiz genel terimlere bakip tekrar hatirlamak da fayda var. Kafamizda somutlastirmak icin ornek problemler uzerinden gidelim.
Soru : Ayni para ile 3 kez arda arda yazitura atilmasi deneyinde kac farkli ihtimal ortaya cikar(YYY
yazi-yazi-yazi veya TTY
tura-tura-yazi vs.. gibi)
Soru : Iki cocuklu bir ailenin cocuklarinin cinsiyetleri kac farkli durumda listelenebilir. ( Kiz-Kiz, Kiz-Oglan, vs.. gibi)
Elimizde k tane bagimsiz olay oldugunu dusunelim. 1. olay icin mumkun ihtimallerin sayisi n1,2. olay icin n2 ,k. olay icin nk olsun. Bu durumda k tane olayin beraber gerceklestirilmesi durumunda olusabilecek ornek uzayin eleman sayisi n1n2 .....nk
Cevap 1 : Yazarak cozersek, 3 yazitura sonunda YYY, YTT, YYT, YTY, TTT, TYY, TYT, TTY. Boyle zor degil mi? Cozum 2.2.2 = 8
Cevap 2 : 1. Cocuk icin mumkun ihtimaller Kiz veya Erkek yani 2. 2. Cocuk icin de haliyle 2. KK, KE, EK, EE. Bu durumda 2.2 = 4
Simdi ornek uzay elemanlarinin siralamasinin onemli oldugu problemler icin sayim yonteminden bahsedelim.
Permutasyon Nedir?
Elimizde bir
V kumesi ve bu kumenin sayilabilir nicelikte olan elemanlari olsun . Bu kumenin eleman sayisini sayabilmemiz icin her elemanina dogal sayi olan bir indis atayabiliyor olmamiz lazim..
.{v1, v2, ..., vn} . Bununla beraber kumenin elemanlari birden cok sekilde de sayilabilir. Simdi bu nedemek?
V ={
v1 =Armut,
v2 = Elma }. 2 elemanli bir kumenin elemanlari ancak 2 sekilde sayilabilir. Once Armut sonra Elma veya once Elma sonra Armut :) Iste permutasyon kumedeki elemanlarin kac farkli yolla sayilabilecegidir. Permutasyon hesaplamasinda kumenin elemanlarindan cok elemanlarin indisleri onemlidir. Ornek verdigimiz V kumesinin sadece indislerini yazarsak {1,2,3,....n}.
Soru : Kac degisik sekilde V kumesinin elemanlarini sayabiliriz veya V kumesinin n elemanli kac tane permutasyonu vardir? Cevap:
n!. yani 1*2*3*4*.*.*.*.n
N elemanli bir kumenin mumkun olan permutasyonlarinin sayisina,o kumenin faktoriyeli denir.
Simdi de eger permutasyonu tanimlarsak ;
r<=n olmak sartiyla, bir kume elemanlarinin, belirli bir siraya gore dizilislerinin her birine permutasyon, n elemanli bir c kumesinin brbirinden farkli elemanli her sirali r'lisine de c kumesinin r'li permutasyonu denir, p(n,r)=n!/(n-r)!
Birkac ornek soru ile bilgimizi pekistirelim;
Birkac ornek soru ile bilgimizi pekistirelim;
Soru : Ahmet cumartesi gunu bisiklet binebilir, balik avlayabilir, resim yapabilir ve tum gun uyuyabilir. Cumartesi gununu Ahmet iki farkli aktivite yaparak kac farkli sekilde gecirebilir?
Cevap : Birinci eylem icin 4 tanesinden birini sectigi zaman ikinci icin geriye 3 tane kalacak. Bu durumda 4.3 = 12 = 4! / (4-2)!
Soru : 10 kisilik bir sinifta bir baskan ve baskan yardimcisi kac farkli sekilde secilebilir?
Cevap : Baskan 10 kisi arasindan 10 farkli sekilde, baskan secildikten sonra kalan 9 kisi arasindan da baskan yardimcisi 9 farkli sekilde secilebilir. 10! / (10-2)! = 90
